quinta-feira, 12 de junho de 2014

Euler e a gestão de processos

Kaliningrado - diz a Wikipédia - é a capital da província russa de mesmo nome, situada no enclave entre a Polônia e a Lituânia, às margens do Mar Báltico. No século XVIII, porém, a cidade era conhecida como Königsberg e tem um papel importantíssimo para a teoria de processos, por conta da genialidade do matemático suíço Leonhard Euler.

Königsberg possui duas grandes ilhas ao longo do Rio Prególia e que, juntas, formam um complexo que dispunha à época de Euler de sete pontes que cruzavam as massas de terra, como visto na figura abaixo.

Mapa da cidade do Königsberg no século XVIII

Discutia-se nas ruas da cidade a solução de um problema que há muito intrigava seus habitantes: seria possível encontra um percurso que cruzasse a cidade atravessando todas as pontes e, cada uma delas,  uma única vez?



 Versão simplificada do mapa de Königsberg

Em 1736, Euler usou um raciocínio extremamente simples para solucionar o problema: a partir do mapa da cidade, transformou os caminhos existentes em retas e suas intersecções em pontos e, a partir daí, percebeu que - exceto para o pontos escolhidos como partida e chegada do percurso -, o número de vezes que um indivíduo chegava a uma massa de terra era igual ao número de vezes que ele saía do local. Então, se cada ponte tivesse de ser atravessada uma única vez, para cada massa de terra que não o início ou o fim do percurso, a quantidade de pontes conectadas aos pontos deveria ser um número par. No caso de Königsberg, todas as quatro massas de terra existentes eram conectadas por um número ímpar de pontes (uma por cinco pontes e as outras por três pontes), fazendo com que fosse impossível percorrer qualquer trajeto nas condições propostas sem repetir, pelo menos, uma ponte.


Visão do "grafo" associado ao problemas das pontes de Königsberg

A forma de representação da realidade criada por Euler foi denominada "grafo" e, modernamente, a teoria de grafos é fundamental para a construção de modelos que buscam solucionar problemas em áreas como as engenharias e a gestão de processos. Nas figuras abaixo, podemos ver uma aplicação da teoria de grafos, na qual um circuito elétrico real é, em um primeiro momento, aproximado por uma representação de seus componentes teóricos e suas equações associadas. Na segunda imagem, temos o respectivo grafo, muito mais simples que a visão inicial e com os pontos do diagrama (também chamados de "nós")  representando os estados assumidos pelo circuito elétrico e os "pesos" associados a cada linha (ou "ramo") como sendo as transformações que levam de um estado a outro - perdão pelo exemplo em inglês...

Dois modelos associados a um circuito elétrico: um diagrama de blocos e o respectivo grafo

A mesma lógica é adotada nas representações modernas de processo, nas quais os nós dos grafos correspondem aos valores existentes (insumos, resultados, referências ou infraestruturas) e suas conexões se referem às transformações que, efetivamente, geram valor às várias partes componentes.

Uma célula básica de processo

Quem diria que nosso patrono em gestão de processos era alguém como Leonhard Euler, hein?




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